Cálculo de raízes de equações de grau dois sem "Bhaskara"

Vamos considerar um valor médio entre as raízes $x_1$ e $x_2$, sabemos que a soma das duas raizes é igual a $ \frac {-b}{a}$ a média entre essas raizes será $\frac {-b}{2a}$  subtraíndo e adicionando um determinado valor a média temos as duas raízes, vamos chamar esse valor de k.

portanto as duas raizes são ${\frac {-b}{2a}}-k$ e ${\frac {-b}{2a}}+k$, Sabendo que b corresponte ao coeficiente cuja parte literal é igual a um e a o coeficiente dominante.

Vamos tomar por exemplo a equação $ x^2 -8x +15$

$a=1$

$ b=-8$     logo, $\frac {-b}{2a} = \frac {-(-8)}{2 \cdot 1}= 4$

Lembrando que o produto das raízes é: $ (\frac{-b}{2a}+k) \cdot (\frac{-b}{2a}-k)=c$ sabendo que c é o termo independente.

Temos $(4+k) \cdot (4-k)=15$ e portanto $4^2 -k^2=15$  resolvendo obtemos $k=\pm 1$ 

Retornando à nossa média:$ \frac{-b}{2a} \pm k$

$\frac{-b}{2a}+k = 4+1$ quatro da média e um obtido pelo produto. A primeira raiz obtida  é 5

$\frac{-b}{2a}-k =4-1$  A segunda raiz obtida é 3

Na forma canônica,  soma das raízes recebe o sinal negativo(+ 5)+(+3) =8 obtendo o simétrico -8

Já o produto é obtido diretamente $3 \cdot 5 = 15$

Obviamente a dificuldade nesse método está em efetuar os cálculos e lembrar de trocar o sinal do coeficiente que corresponde à soma das raízes.